Răspuns:
Explicație pas cu pas:
1. a. din datele problemei deducem ca masura ∡B=60° si totodata, prin prisma principiului ca acea cateta opusa unghiului de 30° masoara jumatate din ipotenuza, deci AB=4.
astfel, avem urmatoarele info:
AB=BM=4
∡B=60° =>ΔABM este echilateral
b. in ΔAMC avem ca AM=4 (de la punctul anterior) = MC (din ipoteza) => ΔAMC isoscel, deci ∡AMC=180°-30°*2=120°
c. Aria ΔABC = AB*AC/2= 4*4√3/2=8√3
AC l am aflat aplicand pitagora in ΔABC: √64-16=√48=4√3
2. a. din relatia de direct proportionlitate vom avea urmatoarea situatie:
∡A/1=∡B/2=∡C/2=∡D/3=k
aplicand proprietatile rapoartelor direct proportionale, vom avea ca:
(∡A+∡B+∡C+∡D)/(1+2+2+3)=k <=> 360°/8=k, deci k=45°
de aici rezulta ca ∡A=45°, ∡B=90°, ∡C=90° si ∡D=135°
asadar, trapezul este dreptunghic.
b. am demonstrat ca trapezul este dreptunghic, iar baza mica CD este egala cu inaltimea trapezului, cre in cazul nostru se identifica cu latura BC.
Daca vom construi din punctul D paralela la inaltimea trapeului BC, aceasta va intersecta baza mare AB a trapezului in punctul D', iar D'BCD va fi patrat a carui arie va fi 10*10=100
Ramane sa aflam aria ΔDAD': pentru ca D'BCD este patrat => ΔDAD' este dreptunghic in D', iar cum masura ∡A=45 =>ΔDAD' este dreptunghi si isoscel, deci AD'=DD'=10. Aria Δ dreptunghic isoscel este produsul catetelor /2 = 10*10/2 = 50
deci, aria trapezului ABCD se compune din aria D'BCD si aria ΔDAD' => 100+50=150
c. daca notam cu AA'prelungirea lui AD vom avea urmatoarea situatie:
∡ADD'=45
∡CDD'=90
deducem ca ∡CDA'= 45
cum D'BCD este patrat si stim ca diagonala sa imparte unghiul drept in 2 unghiuri congruente de cate 45 grade =>∡BDA=90 deci AD⊥BD
