Explicație pas cu pas:
Folosind ideia din [tex] {\bf a)} [/tex] și pentru că produsul este comutativ, vom obține
[tex] \det(A^2+B^2)=\det[(A+iB)(A-iB)]=\det(A+iB)\det(A-iB)=0\implies \det(A+iB)=0\quad \text{sau} \quad \det(A-iB)=0.[/tex]
În amândouă cazuri se verifică proprietatea pe care dorim s-o arătăm. Voi demonstra doar cazul în care [tex] \det(A-iB)=0. [/tex]
Cazul în care se dă [tex]\det(A+iB)=0[/tex] demonstrația este analogă.
Să considerăm [tex]A=[a_{st}] [/tex]și [tex]B=[b_{st}].[/tex] Deci
[tex]\det(A-iB)=\begin{vmatrix} a_{11}-ib_{11}&a_{12}-ib_{12}\\a_{21}-ib_{21}&a_{22}-ib_{22}\end{vmatrix}=(a_{11}-ib_{11})(a_{22}-ib_{22})-(a_{12}-ib_{12})(a_{21}-ib_{21})=\underbrace{(a_{11}a_{22}-b_{11}b_{22}-a_{12}a_{21}+b_{12}b_{21})}_{\alpha}+i\beta[/tex]
Unde [tex]\alpha,\beta \in\mathbb{R}.[/tex]
Fiindcă [tex]\det(A-iB)=0[/tex], în particular partea reală este egală cu 0, adică
[tex]\alpha=0\implies \underbrace{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}_{\det(A)}=\underbrace{b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}}_{\det(B)}.[/tex]
[tex]\hfill{\boxdot}[/tex]
