Explicație pas cu pas:
Avem lg|x-1/x|.
Pentru ca logaritmul să aibă sens, condiția existența necesara este ca:
|x-1/x|>0
Știm că dacă avem |u(x)|>a, atunci trebuie îndeplinite simultan cele două condiții: -a<u(x) și u(x)>0, unde a este un număr real și u(x) o expresie matematica.
Așadar, exercițiul nostru este echivalent cu:
x-1/x>0 (condiția cu -0 ar fi echivalenta cu condiția pusa).
Acum, vine o mica parte de interpretare a exercițiului.
In modul cum este scris, putem interpreta ca fiind (x-1)/x>0 sau x-1/x>0.
Prezint in cele ce urmează ambele cazuri.
Daca avem (x-1)/x>0, atunci:
Aplicam semnul funcției de gradul 1.
Daca avem o funcție de gradul I f(x)=ax+b, atunci până la întâlnirea rădăcinii ecuației f(x)=0 avem semn contrar lui a, iar după întâlnirea rădăcinii ecuației f(x)=0 avem semnul lui a.
Facem tabel de semn:
__x__|-inf_______0______1_____inf
_x-1__|-------------------------------0+++++++
__x__|------------------0+++++++++++++++
(x-1)/x_|++++++++++|--------------0++++++
Cum pe noi ne interesează mulțimea de soluții când (x-1)/x>0, ne uitam in tabel unde avem semnul +. Atenție: pe 0 nu îl luăm deoarece avem inegalitate stricta.
Deci:
x€(-inf,0)U(1,inf)
Daca avem x-1/x>0, putem rescrie inecuația în așa fel incat sa avem o singura fracție și-anume:
(x²-1)/x>0
La fel, rezolvam inecuația cu tabel de semn.
Ținem cont, de aceasta data, și de semnul funcției de gradul al II-lea.
Daca avem o funcție de gradul al II-lea de forma f(x)=a²x+bx+c, cu a≠0, atunci distingem cazurile:
1) daca ∆>0, atunci intre radacinile ecuației f(x)=0 avem semn contrar lui a și în afara acestora semnul lui a (in acest caz ne vom situa);
2) daca ∆=0, atunci de o parte și de alta a rădăcinii duble a ecuatiei f(x)=0 avem semnul lui a;
3) daca ∆<0, atunci pe tot domeniul de definitie al funcției întâlnim semnul lui a.
__x__|-inf__-1____0______1____inf
_x²-1_|++++++0--------------------0++++++
__x__|------------------0+++++++++++++++
(x²-1)/x|----------0++++|-------------0++++++
Cum pe noi ne interesează mulțimea de soluții când (x²-1)/x>0, ne uitam in tabel unde avem semnul +. Atenție: pe 0 nu îl luăm deoarece avem inegalitate stricta.
Deci:
x€(-1,0)U(1,inf)
