Ultima cifra a patratelor perfecte este intotdeauna 0,1,4,5,6 sau 9.
Calculam ultima cifra pentru 3^83:
3^1 - u.c.=3
3^2 - u.c,. = 9
3^3 - u.c. = 7
3^4 - u.c. = 1
3^5 - u.c. = 3..... mai departe se repeta, din 4 in 4 puteri. Atunci u.c. pentru numere de forma 3^4k = 1, u.c. pentru numere de forma 3^(4k+1) = 3, pentru numere de forma 3^(4k+2) = 9 si pentru numere de forma 3^(4k+3) = 7
83 este de forma 4k+3 => u.c.(3^83) = 7
Calculam u.c. pentru 8^68 = (2^3)^68 = 2^204
2^1 - u.c. =2
2^2 - u.c. = 4
2^3 - u.c. = 8
2^4 - u.c. = 6
2^5 - u.c. = 2... se repeta din 4 in 4 puteri. Atunci u.c. pentru numere de forma 2^4k = 6, u.c. pentru numere de forma 2^(4k+1) = 2, pentru numere de forma 2^(4k+2) = 4 si pentru numere de forma 2^(4k+3) = 8
204 este de forma 4k => u.c.(2^204) = 6
Numarul 3^83 + 8^68 va avea ultima cifra 3 (de la 7+6) => nu poate fi patrat perfect
