O sumă de două numere prime > 2 nu poate fi niciodată impară,
deoarece toate numerele prime > 2 sunt impare, iar impar + impar = par.
n⁴+n²+3 = n²(n²+1)+3 = a+b
① Dacă n este par ⇒ n² este par ⇒ n²+1 este impar
⇒ n²(n²+1) este par ⇒ n²(n²+1)+3 este impar.
② Dacă n este impar ⇒ n² este impar ⇒ n²+1 este par
⇒ n²(n²+1) este par ⇒ n²(n²+1)+3 este impar.
③ Dacă a sau b = 2 ⇒ n²(n²+1)+3 = 2+b
⇒ b = n²(n²+1)+1 ⇒ b = n⁴+n²+1 =
= n⁴+2n²+1-n² = (n²+1)²-n² = (n²+1-n)(n²+1+n)
⇒ b = (n²-n+1)(n²+n+1)
⇒ b are cel putin 2 factori primi diferiți de 1.
⇒ b nu este prim.
Din ①, ② sau ③ ⇒ n⁴+n²+3 nu poate fi scris ca sumă de două numere prime.
