Răspuns:
a) nu este patrat perfect
b) exista cel putin un n, n=4041
Explicație pas cu pas:
ultima cifra ar fi 2+4=6 deci ar putea fi p.p. , trebuie calculat altfel
a)2^1009+2^4038=2^1009 (1+2^3027)
1+2^3027 impar
2^1009, putere impara a unui numar par
deci chiar daca 2^3017 +1 ar fi p.p , 2^1009 nu e p.p deci la extragerea radacinii patrate ar ramane un √2
b) reformultam: exista n număr natural nenul astfel încât 2^n+ 2^4038 să fie pătrat perfect?
2^n ar trebui sa apartina 3*2^4038, nu convine
8*2^4038 convine deci 2^n=2³*2^4038=2^4041
verificare
2^4041+2^4038= 2^4038(8+1) =9*2^4038= 3² *(2^2019)²= (3*2^2019)²
