Răspuns :
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) n^3+11n sa fie divizibil cu 3 ???
1) verificam ca e adevarat pentru n=1: 1³+11·1=12 e divizibil cu 3, deci True.
2) Admitem ca e adevarat si pentru n=k, deci k³+11·k e divizibil cu 3
3) Demonstram adevarul pentru n=k+1
(k+1)³+11·(k+1)=k³+3·k²·1+3·k·1²+1³+11·k+11·1=(k³+11·k)+(3k²+3k+12)=(k³+11·k)+3·(k²+k+4). Deoarece primul termen e divizibil cu 3 (vezi subpunctul 2) si al doilea termen a sumei e la fel divizibil cu 3, rezulta ca si suma e divizibila cu 3.
Deci n³+11n e divizibil cu 3 pentru orice n∈N
b) n^3+5n sa fie divizibil cu 6. ????
1) verificam ca e adevarat pentru n=1: 1³+5·1=6 e divizibil cu 3, deci True.
2) Admitem ca e adevarat si pentru n=k, deci k³+15·k e divizibil cu 3
3) Demonstram adevarul pentru n=k+1
(k+1)³+5·(k+1)=k³+3·k²·1+3·k·1²+1³+5·k+5·1=(k³+5·k)+(3k²+3k+6)=(k³+5·k)+3·(k²+k)+6=(k³+5k)+3·k·(k+1)+6. Deoarece primul termen e divizibil cu 6 (vezi subpunctul 2) si al doilea termen a sumei e la fel divizibil cu 6, deoarece se divide cu 3 si cu 2, deoarece produsul de numere consecutive, k si k+1 va fi la sigur par. Al treilea termen, adica 6 e divizibil cu 6. Rezulta ca intreaga suma se va divide cu 6, deci n³+5n va fi divizibil cu 6, pentru orice n∈N.
Deci n³+11n e divizibil cu 3 pentru orice n∈N
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!