Răspuns:
Explicație pas cu pas:
16).
a) 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ cu 2⁷ - 1
1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ = ( 2⁶⁺¹ - 1 ) / ( 2 - 1) = 2⁷ - 1
-> aplic formula: 1 + k + k² + k³ + ...... + kⁿ = ( kⁿ⁺¹ - 1 ) / (k - 1)
=> 2⁷ - 1 = 2⁷ - 1
1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ = 2⁷ - 1
____________________________________________
b) 2⁵⁸ cu 3³⁹ - 9¹⁹
3³⁹ - 9¹⁹ = 3³⁹ - ( 3²)¹⁹ = 3³⁹ - 3³⁸ = 3³⁸ x ( 3 - 1 ) = 3³⁸ x 2
2⁵⁸ = 2 x 2⁵⁷= 2 x (2³)¹⁹ = 2 x 8¹⁹
3³⁸ x 2 = ( 3²)¹⁹ x 2 = 9¹⁹ x 2
=> 2 x 8¹⁹ < 2 x 9¹⁹, deoarece 8¹⁹ < 9¹⁹ ( 8 < 9 )
=> 2⁵⁸ < 3³⁹ - 9¹⁹
__________________________________________________
17)
a)
x = 2⁹⁶ + 2⁹⁸ + 2¹⁰⁰
x = 2⁹⁶ x ( 1 + 2² + 2⁴)
x = 2⁹⁶ x ( 1 + 4 + 16 )
x = 2⁹⁶ x 21
__________________
y = 2¹⁰¹ + 2⁹⁹ + 2⁹⁷
y = 2⁹⁷ x ( 2⁴ + 2² + 1 )
y = 2⁹⁷ x 21
=> 2⁹⁶ x 21 < 2⁹⁷ x 21, deoarece 2⁹⁶ < 2⁹⁷ ( 96 < 97)
=> x < y
________________________________________________________
b)
x = 3⁵⁷ - 3⁵⁵ - 3⁵³
x = 3⁵³ x ( 3⁴ - 3² - 1)
x = 3⁵³ x ( 81 - 9 - 1 )
x = 3⁵³x 71
y = 5⁴³ - 125¹⁴
y = 5⁴³ - ( 5³)¹⁴
y = 5⁴³ - 5⁴²
y = 5⁴² x ( 5 - 1 )
y = 5⁴² x 4
_____________________
x = 3⁵³ x 71 cu y = 5⁴² x 4
42 = 3 x 14
Pentru a obtine acelasi exponent, bazele fiind prime intre ele, maresc atat pe x, cat si pe y de 27 ori pentru a obtine un divizor comun al exponentilor
x = 3⁵³ x 3³ x 71 y = 5⁴² x 4 x 27
x = 3⁵⁶ x 71 si y = 5⁴² x 108
Observ ca cel mai mare divizor comun al exponentilor este 14:
56 = 4 x 14, iar 42 = 3 x 14
________________________
x = 3⁴ˣ¹⁴ x 71 si y = 5³ˣ¹⁴ x 108
x = (3⁴)¹⁴ x 71 si y = (5³)¹⁴ x 108
x = 81¹⁴ x 71 si y = 125¹⁴ x 108
Deduc din relatiile obtinute ca x < y, pentru ca:
81¹⁴ < 125¹⁴, deoarece 81 < 125, dar 71 < 108
=> 3⁵³x 71 < 5⁴² x 4
