👤
MODFRIENDLYID
a fost răspuns

Se considera a, b € (1, +oo), a>0.
Demonstrati ca functia g(x):|R -> |R este injectiva, unde:
[tex]g(x)=(\frac{a}{b})^x -\frac{1}{b^x}-1[/tex]


Rog explicatie pas cu pas si sa precizati proprietatile folosite. Multumesc!

Răspuns :

ALBATRANID

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

caz 1  a>b

(a/b) >1 (a/b) ^x strict crescatoare

b>1, b^x strict crescatoare, 1/b^x strict descrescatoare , -1/b^x strict crescatoare

-1 constanta

o sumalgebrica de 2 functii strict crescatoare si una constanta este strict crescatoare, deci injectiva

caz 2 a=b

(1/b) ^x=1 , suma algebrica devine -1/b^x care am arata ca e strict crescatoare, deci injectiva

caz3, (a/b)<1, adica 1<a<b

(a^x-b^x)<0 si strict descrescatoare, diferenta creste in modul

b^x crescatoare

deci (a^x-b^x)/b^x strict descrescatoare

-1 constanta

deci suma algebrica a celor 2 functiiva fi strict descrescatoare, deci injectiva

am folosit monotinia functei exponentiale cu baza>1,

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari