Răspuns:
Mizeriile de manuale Burtea, nu? :( Nu stiu ce pile au burtosii astia la minister de toate liceele sunt obligate sa le foloseasca.
Pai ideea ar fi sa explicitezi [x] pentru x in [0,2]
[x]=0 pentru x in [0,1) ; [x]=1 pentru x in [1,2) si [x]=2 pentru x =2.
Pe urma trebuie scrisa functia pe ramuri (inlocuind [x]):
[tex] f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2x+1},& x\in [0,1) \\ \frac{x-1}{x+1},& x\in [1,2) \\ 0,& x=2 \end{cases}.[/tex]
f este marginita pe [0,2] si are doua puncte de discontinuitate de speta intai in x=1 si x=2. De aici rezulta ca f e integrabila. Iar:
[tex]\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 \frac{x}{2x+1} dx + \int_1^2 \frac{x-1}{x+1} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2x+1-1}{2x+1}dx + \int_1^2 \frac{x+1-2}{x+1}dx =[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int_0^1 dx - \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{2x+1}dx +\int_1^2 dx - 2\int_1^2 \frac{1}{x+1}dx =[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}x|_0^1 - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}ln(2x+1)|_0^1 + x|_1^2 - 2ln(x+1)|_1^2 = [/tex]
[tex]=\frac{1}{2}(1-0) -\frac{1}{4}(ln 3-ln 1)+(2-1)-2(ln 3 -ln 2) = \frac{3}{2}+2ln 2 - \frac{9}{4}ln 3.[/tex]
