Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Tetraedu regulat, deci toate 4 fete sunt congruente. Varful V se proecteaza in centrul bazei, centrul O al cercului circumscris triunghiului echilateral din baza. Avem relatia dintre raza cercului si latura triunghiului regulat. AB=VA=a. Deci AB=AO√3, deci AO=a/√3=a√3/3. d(V,(ABC)=VO. Din ΔVAO, T.P. ⇒VO²=VA²-AO²=a²-(a√3/3)²=a²-(a²·3)/9=(a²·6)/9. Deci VO=a√6/3=d(V,(ABC).
b) Punctul M si VC formeaza planul (VMC). d(M,VC) este lungimea perpendicularei din M la VC.
Din formula Aria(ΔVMC)=(1/2)·MC·VO=(1/2)·VC·d(M,VC) |·2, ⇒
MC=(3/2)·AO=(3/2)·(a√3)/3=a√3/2
Atunci inlocuim in MC·VO=VC·d(M,VC), (a√3/2)·(a√6/3)=a·d(M,VC) |:a,⇒
d(M,VC)=(a·√18)/(2·3)=(a·3√2)/(2·3)=a√2/2.
c) m(∠(VC,AB))=???
Prin C trasam o dreapta CF║AB. Deoarece MC⊥AB, atunci MC ⊥CF.
Dar CO=pr(ABC)VC. deoarece CO⊂MC, ⇒CO⊥CF. Atunci, dupa T3⊥, ⇒VC⊥CF. deoarece CF║AB, ⇒VC⊥AB. Atunci m(∠(VC,AB))=90°.
