Răspuns:
Astea par probleme de la facultatea de matematica din Bucuresti...
Presupunem ca sin(1) este rational. Atunci [tex]sin^2(1)[/tex] este rational.
Rezulta ca, [tex]\cos(2)=\cos^2(1)-\sin^2(1)=1-2\sin^2(1)[/tex] este rational.
In general, [tex]\cos(2a)+\cos(2a-4)=2\cos(2)\cos(2a-2)[/tex] (transformarea sumei in produs)
De aici, rezulta inductiv ca cos(2a) este rational pentru orice numar natural a. (Pentru a=0, cos(0)=1, pentru a=1, cos(2) e rational din ipoteza sin(1) rational, pentru a>=2 se aplica identitatea anterioara si ipoteza de inductie)
In particular, [tex]cos(30)=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex] ar fi rational, contradictie!
