Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ABCD paralelogram, AE, CF bisectoare a unghiurilor ∡A si ∡C.
Se da: Aria(ADE)+Aria(BFC)=Aria(AFCE).
a) ∡DAB=∡DCB, unghiuri opuse in paralelogram.
AE bisectoare, deci ∡DAE=EAB, si ∡EAB=∡DEA (alterne interne).
Dar ∡DEA=∡ECF ( ca jumatati a unghiurilor egale)
Atunci AE║CF si deci AFCE paralelogram. Atunci AF=EC si AE=CF.
In ΔADE, ∡DAE=∡DEA, deci ΔADE isoscel cu baza AE. La fel se deduce ca ΔBFC este isoscel cu baza FC. Deci ΔDAE≡ΔBFC. Deci DE=BF.
Aria(ADE)+Aria(BFC)=2·Aria(BFC)=2·(1/2)·BF·h=BF·h, unde h inaltime dusa din C pe BF.
Aria(AFCE)=AF·h. Deoarece Aria(ADE)+Aria(BFC)=Aria(AFCE), ⇒BF·h=AF·h
Deci BF=AF.
b) In a) am aratat ca ΔBFC este isoscel cu baza FC, deci BF=BC. Atunci Deoarece FB=(1/2)·AB, ⇒AB=2·BC.
c) ΔBCE este isoscel cu baza BE. Deci ∡BEC=∡CBE. Dar ∡BEC=∡EBA, deci BE este bisectoarea unghiului B.
In ΔABE, ∡BAE=(1/2)·∡BAD, iar ∡ABE=(1/2)·∡ABC
Dar ∡BAD+∡ABC=180°, deci ∡BAE+∡ABE=(1/2)·180°=90°. Deci In ΔABE, ∡AEB=90°.
