[tex]\vec{r}(t)=4\vec{i}+2t\vec{j}+3t^3\vec{k}\\\\\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\lim_{\delta t\to 0}\dfrac{\vec{r}(t+\delta t)-\vec{r}(t)}{\delta t}=2\vec{j}+9t^2\vec{k}\\\\\vec{a}(t)=\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=18t\vec{k}[/tex]
a) La [tex]t=1s[/tex]: [tex]\vec{r}(t)=4\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}[/tex]. Deci pozitia particulei se reprezinta in spatiul [tex]Oxyz[/tex] la coordonatele [tex]x=4, y=2, z=3[/tex].
b) Am rezolvat mai sus.
c) [tex]\vec{v}(2s)=2\vec{j}+36\vec{k}\implies v=|\vec{v}|=\sqrt{2^2+36^2}=10\sqrt{13}(m/s)\approx 36,055(m/s)[/tex]
[tex]\vec{a}(2s)=36\vec{k}\implies |\vec{a}|=36(m/s^2)[/tex]
d) [tex]\vec{v}_m=\dfrac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}=\dfrac{4\vec{i}+4\vec{j}+24\vec{k}-4\vec{i}-2\vec{j}-3\vec{k}}{1}=2\vec{j}+21\vec{k}[/tex]
Observatie: Rezolvarea aceasta necesita notiunea de derivata, am presupus ca iti e cunoscuta. In cazul in care nu stii derivate, aici este o strategie alternativa, care necesita putin mai mult efort de calcul. Sa spunem ca vrei sa deduci expresia lui [tex]\vec{v}(t)[/tex]. Atunci, calculeaza [tex]\vec{r}(t)[/tex] la momentul [tex]t[/tex] si la un alt moment [tex]t+\Delta t[/tex], unde [tex]\Delta t[/tex] este un timp foarte mic in comparatie cu [tex]t[/tex]. Cum [tex]\vec{v}\equiv\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}[/tex], va trebui sa calculezi [tex]\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)[/tex], desfacand puterile si neglijand termenii care contin [tex]\Delta t[/tex] (la final). Spre exemplu:
[tex]\vec{v}(t)=\dfrac{4\vec{i}+2(t+\Delta t)\vec{j}+3(t+\Delta t)^3\vec{k}-4\vec{i}-2t\vec{j}-3t^3\vec{k}}{\Delta t}\\\\\vec{v}(t)=\dfrac{2\Delta t\vec{j}+3[(t+\Delta t)^3-t^3]\vec{k}}{\Delta t}=\dfrac{2\Delta t\vec{j}+3[3t^2\Delta t+3t(\Delta t)^2+(\Delta t)^3]\vec{k}}{\Delta t}\\\\\\\vec{v}(t)=2\vec{j}+9t^2\vec{k}+9t\Delta t\vec{k}+3(\Delta t)^2\vec{k}\approx 2\vec{j}+9t^2\vec{k}\:\:(\Delta t\to 0)[/tex]
