[tex]\it 10^{24}<2^{80} \Leftrightarrow 2^{24}\cdot5^{24}<2^{80}|_{:2^{24}}\Leftrightarrow 5^{24}<2^{56} \Leftrightarrow5^{3\cdot8}<2^{7\cdot8}\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow(5^3)^8<(2^7)^8\Leftrightarrow125^8<128^8\ \ (A)\ \ \ \ \ (1)[/tex]
[tex]\it 2^{80}<10^{25} \Leftrightarrow 2^{80}<2^{25}\cdot5^{25}|_{:2^{25}} \Leftrightarrow 2^{55}< 5^{25} \Leftrightarrow 2^{11\cdot5}<5^{5\cdot5}\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow(2^{11})^5<(5^5)^5 \Leftrightarrow 2048^5<3125^5\ \ (A)\ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 10^{24}<2^{80}<10^{25}[/tex]
Remarcă:
Deoarece 10²⁴ este cel mai mic număr natural format din 25 de
cifre, iar 10²⁵ este cel mai mic număr format din 26 de cifre,
va rezulta că 2⁸⁰ este format din 25 de cifre.
