Răspuns:
nu stiu daca la c) am ales cea mai efectiva .... :)))
Succese la cercetare!
Explicație pas cu pas:
AB=6√2cm, BC=CC'=6cm
a) ∡(BC',CD')= ∡(BC',BA')=∡A'BC', deoarece BA'║CD'.
ABB'A'≡A'B'C'D', deci BA'=A'C', deci ΔBA'C' este isoscel cu baza BC'.
Fie A'E⊥BC', E∈BC', deci A'E este si mediana.
BC=CC'=6, deci BC'=6√2cm. Atunci BE=3√2cm.
Din ΔABA', A'B²=AB²+A'A²=(6√2)²+6²=6²·2+6²=6²·(2+1)=6²·3
Deci A'B=6√3cm. Din ΔA'BE, dreptunghic in E, ⇒A'E²=A'B²-BE²=(6√3)²-(3√2)²=6²·3-3²·2=3²·2²·3-3²·2=3²·(2²·3-2)=3²·10, deci A'E=3√10cm.
Atunci sin(∠A'BC')=sin(∠A'BE)=A'E/A'B=(3√10)/(6√3)=√10/ (2√3)=√30 / 6.
b) Fie PF⊥CD, F∈CD, ⇒PF=CC'=6. Trasam FM⊥AC, M∈AC. Atunci dupa T3⊥, ⇒ si PM⊥AC. AC=A'B=6√3cm.
ΔACD≅ΔFCM, dupa unghi ascutit comun. ⇒AD/FM=AC/FC, FC=(1/2)·CD.
inlocuim, 6/FM=(6√3)/(3√2), ⇒6/FM=(6√3·√3)/(3√2·√3)=(6·3)/(3·√6)=6/√6
Deci FM=√6cm
Din ΔPFM, dreptunghic in F, ⇒PM²=PF²+FM²=6²+(√6)²=42. deci PM=√42.
Atunci Aria(ΔACP)=(1/2)·AC·PM=(1/2)·6√3·√42=3·√(3·42)=3·√(3·3·14)=9√14cm².
c) d(D.(ACP))=??
Trasam DG⊥AC, ⇒ΔCDG, FM este linie mijlocie, deci DG=2·FM=2√6cm.
Trasam PE║A'C', deci PE║AC, deci PEAC este trapez. Trasam D'H⊥PE, deci D'HGD este trapez dreptunghic. HG║PM, deci HG⊥AC. AC⊥DG, deci AC⊥(DD'HG). ⇒d(D,(ACP)=d(D,HG).
Aria(DD'HG)=DD'·(DG+D'H):2 , PE este linie mijlocie in ΔD'A'C', deci PE=(1/2)·AC=(1/2)·6√3=3√3cm. Din formula Aria(ΔPD'E)=(1/2)·D'P·D'E=(1/2)·PE·D'H, ⇒3√2·3=3√3·D'H, deci D'H=(3√2)/√3=√6cm.
Deci Aria(DD'HG)=DD'·(DG+D'H):2=6·(2√6+√6):2=9√6cm².
Dar Aria(DD'HG)=Aria(ΔD'HD)+Aria(ΔHDG), Aria(ΔD'HD)=(1/2)·D'D·D'H=(1/2)·6·√6=3√6cm². Atunci Aria(ΔHDG)=Aria(DD'HG)-Aria(ΔD'HD)=9√6-3√6=6√6cm². Dar Aria(ΔHDG)=(1/2)·HG·d(D,HG)=(1/2)·√42·d(D,HG).
Deci (1/2)·√42·d(D,HG)=6√6, ⇒d(D,HG)=(2·6√6)/√42=12/√7=
=12√7 /7cm=d(D.(ACP))
