Răspuns :
Răspuns:
a) Verificarea:
\[ x * y = xy - 5(x + y) + 30 \]
\[ = (x - 5)(y - 5) + 5 \]
\[ = xy - 5x - 5y + 25 + 5 \]
\[ = xy - 5x - 5y + 30 \]
b) Calculul:
\[ \frac{1}{2*3} - \frac{(1-2)*(1-3)}{1} \]
\[ = \frac{1}{6} - \frac{(-1)(-2)}{1} \]
\[ = \frac{1}{6} - \frac{2}{1} \]
\[ = \frac{1 - 12}{6} \]
\[ = -\frac{11}{6} \]
c) Rezolvarea ecuației:
\[ x * x = 5x \]
\[ x^2 = 5x \]
\[ x^2 - 5x = 0 \]
\[ x(x - 5) = 0 \]
Deci, soluțiile sunt \(x = 0\) și \(x = 5\).
d) Demonstrarea:
\[ x * (y * z) = x * (y + z + 3) = x + (y + z + 3) + 3 = x + y + z + 6 \]
\[ (x * y) * z = (x + y + 3) * z = (x + y + 3) + z + 3 = x + y + z + 6 \]
Deci, \(x * (y * z) = (x * y) * z\).
e) Demonstrarea:
\[ x * y = x + y + 3 \]
Pentru \(x, y \in M = [5, +)\), se poate observa că rezultatul va fi întotdeauna mai mare sau egal cu 8 (5 + 3). Prin urmare, pentru \(x, y \in M\), \(x * y\) va fi întotdeauna în \(M\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se consideră legile de compoziție \(x * y = x + y + 3\) și \(x * y = xy - 3(x + y) + 12\). Să se rezolve sistemul de ecuații:
\[ \begin{cases} x \cdot (y-1) = 0 \\ (x+1) \cdot y = x \cdot (y+1) \end{cases} \]
Soluții:
1. Pentru \(x \cdot (y-1) = 0\), avem \(x = 0\) sau \(y = 1\).
2. Pentru \((x+1) \cdot y = x \cdot (y+1)\), punem valorile \(x = 0\) și \(y = 1\) din prima ecuație:
\[ (0+1) \cdot 1 = 0 \cdot (1+1) \]
\[ 1 = 0 \]
Din această contradicție, sistemul nu are soluții reale.
Explicație pas cu pas:
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!