Explicație pas cu pas:
Pentru a rezolva această problemă, vom folosi proprietățile divizibilității și vom analiza fiecare caz separat.
**a) Dacă \(2-ab-cd\), arătăm că numărul \(abcd\) este multiplu de 17:**
Dat fiind că \(2-ab-cd\), putem scrie \(abcd\) sub forma:
\[ abcd = 2 - ab - cd \]
Reprezentăm numărul \(abcd\) sub forma \(10^3a + 10^2b + 10c + d\), astfel încât:
\[ 10^3a + 10^2b + 10c + d = 2 - 10a - b - 10c - d \]
\[ 1000a + 100b + 10c + d = 2 - 10a - b - 10c - d \]
\[ 1001a + 99b = 2 \]
\[ 1001a + 99b - 2 = 0 \]
Observăm că 1001 este un multiplu de 17 (\(1001 = 17 \times 59\)) și 99 este un multiplu de 17 (\(99 = 17 \times 6\)). Deci, avem o diferență de două multipli de 17, ceea ce înseamnă că rezultatul este, de asemenea, un multiplu de 17.
**b) Dacă \(6ab-cd\), arătăm că numărul \(abcd\) este multiplu de 53:**
Dat fiind că \(6ab-cd\), putem scrie \(abcd\) sub forma:
\[ abcd = 6ab - cd \]
Reprezentăm numărul \(abcd\) sub forma \(10^3a + 10^2b + 10c + d\), astfel încât:
\[ 10^3a + 10^2b + 10c + d = 6ab - 10c - d \]
\[ 1000a + 100b + 10c + d = 6ab - 10c - d \]
\[ 1000a + 100b + 20c + 2d = 6ab \]
\[ 250a + 25b + 5c + \frac{1}{3}d = ab \]
Observăm că 250 este un multiplu de 53 (\(250 = 53 \times 4 + 2\)), 25 este un multiplu de 53 (\(25 = 53 \times 0 + 25\)) și 5 este un multiplu de 53 (\(5 = 53 \times 0 + 5\)). Deci, avem o sumă de numere care sunt multipli de 53, ceea ce înseamnă că rezultatul este, de asemenea, un multiplu de 53.
Astfel, am demonstrat că \(abcd\) este multiplu de 17 și de 53, deci este multiplu de \(17 \times 53 = 901\).
Sper ca te-am ajutat!
