Răspuns:
Pentru a scrie numărul \( Z \) sub formă trigonometrică, vom folosi formula lui De Moivre pentru ridicarea la putere a unui număr complex:
\[ Z = \left(1 - i\right)^{10} \cdot \left(-1 + i\sqrt{3}\right)^{-5} \]
Folosind formula lui De Moivre, avem:
\[ \left(1 - i\right)^{10} = \left[\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right]^{10} \]
\[ = \sqrt{2}^{10} \left(\cos\left(-\frac{10\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{10\pi}{4}\right)\right) \]
\[ = 2^5 \left(\cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right)\right) \]
\[ = 32 \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \]
\[ = 32 \left(0 + i\right) \]
\[ = 32i \]
Și pentru \( \left(-1 + i\sqrt{3}\right)^{-5} \), avem:
\[ \left(-1 + i\sqrt{3}\right)^{-5} = \left[2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)\right]^{-5} \]
\[ = 2^{-5} \left(\cos\left(-\frac{10\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{10\pi}{3}\right)\right) \]
\[ = \frac{1}{32} \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \]
\[ = \frac{1}{32} \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ = \frac{1}{64} + \frac{i\sqrt{3}}{64} \]
Acum, putem înlocui \( \left(1 - i\right)^{10} \) și \( \left(-1 + i\sqrt{3}\right)^{-5} \) în expresia lui \( Z \):
\[ Z = \frac{32i}{\frac{1}{64} + \frac{i\sqrt{3}}{64}} \]
\[ Z = \frac{32i \cdot 64}{1 + i\sqrt{3}} \]
\[ Z = \frac{2048i}{1 + i\sqrt{3}} \]
Pentru a determina modulul și argumentul redus al lui \( Z \), vom folosi formula:
\[ |Z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ \arg(Z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \]
Unde \( a \) este partea reală și \( b \) este partea imaginară a lui \( Z \).
Pentru \( Z = \frac{2048i}{1 + i\sqrt{3}} \), avem \( a = 0 \) și \( b = 2048 \).
\[ |Z| = \sqrt{0^2 + 2048^2} = \sqrt{4194304} = 2048 \]
\[ \arg(Z) = \arctan\left(\frac{2048}{0}\right) = \frac{\pi}{2} \]
Deci, forma trigonometrică a lui \( Z \) este \( Z = 2048 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) \).
