Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{f^{-1}(x) = \dfrac{\ln 2x}{2\ln 2}},\ \ \ f^{-1}:(0;+\infty) \to \Bbb{R}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
O funcție f : A → B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
Studiem injectivitatea:
[tex]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2^{2x_1-1} = 2^{2x_2-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2x_1-1 = 2x_2-1 \Rightarrow 2x_1 = 2x_2\\[/tex]
[tex]\Rightarrow x_1 = x_2 \Rightarrow f.injectiv\breve{a} \ \ (1)[/tex]
Orice funcție strict monotonă este injectivă (pe domeniul de definiție).
Studiem surjectivitatea. Stabilim codomeniul
[tex]2^{2x-1} > 0, \ \ \forall x \in \Bbb{R} \Rightarrow f(x) > 0 \Rightarrow f: \Bbb{R} \to (0;+\infty)\\[/tex]
[tex]\forall y \in (0;+\infty), \ \exists x \in \Bbb{R} \ a.i. \ y = f(x)[/tex]
[tex]y = 2^{2x-1} \Rightarrow \ln y = \ln 2^{2x-1} \Rightarrow \ln y = (2x-1)\ln 2 \Rightarrow \ln y + \ln 2 = 2x\ln 2[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \dfrac{\ln 2y}{2\ln 2} \Rightarrow f.surjectiv\breve{a} \ \ (2)[/tex]
Funcția f este surjectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul în cel puțin un punct.
Din (1) și (2) ⇒ f este bijectivă ⇒ f este inversabilă
O funcție f este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B, ecuația f(x)=y are o singură soluție.
[tex]\Rightarrow \boldsymbol{f^{-1}(y) = \dfrac{\ln 2y}{2\ln 2}}, \ \ \ f^{-1}:(0;+\infty) \to \Bbb{R}\\[/tex]
[tex]sau \ \boldsymbol{f^{-1}(x) = \dfrac{\ln 2x}{2\ln 2}} \ \ (se \ schimb\breve{a} \ notatia \ din \ y \ in \ x)[/tex]
