👤
a fost răspuns

*SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinati numărul real x ştiind că x-2,x,8 sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice.
(5p) 2. Fie funcţia f:R→R,f(x) = ax-1. Determinati a eR știind că punctul A(a,3)
apartine graficului funcției f.
(5p) 3. Rezolvaţi în R ecuația 32-1+1=28.
(5p) 4. Calculați probabilitatea ca alegând un element din multimea numerelor naturale mai mici
decât 100, acesta să fie pătrat perfect.
TEST 21-se acordă 10 puncte din oficiu, timp de lucru 3 ore
(5p) 5. Fie dreapta de ecuație d: ax+by-3-0. Determinati a,beR știind că punctele 4(1,1)
şi B(2.-1) aparţin dreptei d.
(5p) 6. Se consideră triunghiul ABC în care AB = 5√2, mel
cu 15. Aflaţi lungimea laturii [BC].
**SUBIECTUL II (30 de puncte)
-1 3
1
(15p) 1. Fie matricele A =
208- (13
şi B =
(5p) a) Calculați det (A+1₂). (5p) b) Determinaţi xeR știind că det (A²-B)=0.
x-2)
me(B) = =45° şi aria triunghiului egală
(5p) c) Pentru x = 2 aflaţi inversa matricei B.
(15p) 2. Fie polinomul ƒ€R[X],ƒ = 2X³ - X² +3 cu rădăcinile x₁,x₂,.dz.
(5p) a) Arătaţi că polinomul ƒ este divizibil cu polinomul g = X +1.
(5p) b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului ƒ la X²-2.
(5p) c) Să se determine a € R știind că: a(x² + x² + x² ) = 1 1
*** SUBIECTUL III (30 de puncte)
(15p) 1. Fie funcţia f: (0, +∞) → R, ƒ(x) = (x+2) √x.
(5p) a) Calculaţi lim
X-400
1
+
Xq-²/2 xjxzxzz
√xf(x)
3x+2
(5p) b)
(2x-1)(3x+2)
Arătaţi că f'(x)=- ₁x € (0, +∞).
2√x
(5p) c) Scrieţi ecuația tengentei la graficul funcţiei ƒ în punctul de abscisă x₁ = 1.
1
(15p) 2. Fie funcţia f:[0, +∞0)→ R, f(x) = -
x+1
(5p) a) Calculaţi fxf (x) dx .
(5p) b) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei
8:[0,1] → R, g(x) = f(x)
1
(Sp) c) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei ƒ este concavă pe [0, +∞0).

Răspuns :

IOANM866ID

Răspuns:

## Rezolvare detaliată a Subiectelor Testului 2:

**SUBIECTUL I:**

**1. Progresie geometrică:**

Fie x-2, x, 8 termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Avem:

* **Rația:** (x)/(x-2) = 8/x

* **Rezolvarea ecuației:** x^2 - 6x + 16 = 0

* **Soluții:** x1 = 2 + 2√3, x2 = 2 - 2√3

* **Numărul real x:** x = 2 + 2√3

**2. Funcție liniară:**

Fie f(x) = ax - 1 și punctul A(a, 3) pe grafic. Avem:

* **Substituție:** 3 = aa - 1

* **Determinarea lui a:** a = 4

* **Funcția:** f(x) = 4x - 1

**3. Ecuație:**

Rezolvarea ecuației 3^2-1+1 = 2^8:

* **Simplificare:** 9 = 256

* **Soluție:** Nu există soluții reale.

**4. Probabilitate:**

Calculul probabilității ca un element din mulțimea numerelor naturale mai mici de 100 să fie pătrat perfect:

* **Număr de elemente favorabile:** 10 (1^2, 2^2, ..., 10^2)

* **Număr de elemente posibile:** 99

* **Probabilitate:** 10/99

**5. Dreaptă:**

Determinarea lui a și b din ecuația ax + by - 3 = 0, știind că punctele A(1, 1) și B(2, -1) aparțin dreptei:

* **Sistem de ecuații:**

* a + b - 3 = 0

* 2a - b - 3 = 0

* **Soluție:** a = 2, b = 1

* **Ecuația dreptei:** 2x + y - 3 = 0

**6. Triunghi:**

Aflam lungimea laturii BC în triunghiul ABC cu AB = 5√2, AC = 15 și unghi BAC = 45°:

* **Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ACD:**

* CD = √(AC^2 - AD^2) = √(15^2 - (5√2)^2) = 5√3

* **Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC:**

* BC = √(AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(BAC))

* BC = √(50 + 225 - 2 * 5√2 * 15 * cos(45°))

* BC = 10√6

**SUBIECTUL II:**

**1. Matrici:**

a) **Determinantul matricei A + I2:**

det(A + I2) = det(A) + 2 * det(I2) + det(I2) = 10 + 2 * 1 + 1 = 13

b) **Determinantul matricei A^2 - B:**

det(A^2 - B) = det(A) * det(A - B) = 10 * (5 - 4) = 10

**Ecuația pentru x:**

det(A^2 - B) = 0 => 10 * (5 - 4) = 10 => x = 2

c) **Inversa matricei B pentru x = 2:**

B^-1 = (1/4) * (-1, 2) = (-1/4, 1/2)

**2. Polinoame:**

a) **Divizibilitatea cu X + 1:**

f(x) = 2x^3 - x^2 + 3 = (x + 1)(2x^2 - 3x + 3)

**Restul la împărțirea la X^2 - 2:**

Fie f(x) = q(x) * (x^2 - 2) + r(x), unde q(x) este câtul și r(x) este restul.

* **Împărțirea polinoamelor:**

```

2x

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari