Explicație pas cu pas:
Rezolvarea exercițiilor din imagine:
Exercițiul 1:
a) Determinați intervalele de monotonicitate pentru funcția:
f(x) = (x - 1)^2 - 4
Soluție:
1) Derivata funcției:
f'(x) = 2(x - 1)
2) Semne derivatei:
x | f'(x)
-- | --
< 1 | -
1 | 0
> 1 | +
3) Intervale de monotonicitate:
* x < 1: f'(x) < 0, deci funcția este descrescătoare.
* 1 < x: f'(x) > 0, deci funcția este crescătoare.
Concluzie:
* Intervalele de monotonicitate pentru funcția f(x) sunt:
* ( - ∞, 1): descrescătoare
* (1, ∞): crescătoare
b) Stabiliți dacă funcția este extremă locală:
x = 1/2 este un punct extrem local pentru funcția f(x).
Soluție:
Pentru a stabili dacă x = 1/2 este un punct extrem local, se pot folosi următoarele metode:
1) Metoda derivatelor:
* Se calculează derivata funcției în punctul x = 1/2.
* Se analizează semnul derivatei în jurul punctului x = 1/2.
2) Metoda tabelului de variație:
* Se construiește tabelul de variație al funcției f(x) în intervalul care conține punctul x = 1/2.
Metoda derivatelor:
f'(x) = 2(x - 1)
f'(1/2) = 0
Deoarece derivata este nulă în punctul x = 1/2, nu se poate determina direct dacă funcția are un extrem local în acest punct.
Metoda tabelului de variație:
Interval | x | f(x) | f'(x)
-------- | -------- | -------- | --------
x < 1/2 | - | < 0 | < 0
1/2 | 1/2 | 3/4 | 0
x > 1/2 | - | > 0 | > 0
Din tabelul de variație se observă că:
* Funcția este descrescătoare în intervalul ( - ∞, 1/2).
* Funcția are o valoare maximă în punctul x = 1/2.
* Funcția este crescătoare în intervalul (1/2, ∞).
Concluzie:
x = 1/2 este un punct extrem local (maxim) pentru funcția f(x).
Exercițiul 2:
Determinați derivata funcției:
f(x) = (x^2 + 1)^2
Soluție:
Derivata funcției f(x) se poate determina folosind următoarele reguli de derivare:
* Derivata unei puteri: (x^n)' = nx^(n-1)
* Derivata unei compoziții de funcții: (u o v)'(x) = u'(v(x)) * v'(x)
f'(x) = [(x^2 + 1)^2]'
= 2(x^2 + 1) * (2x)
= 4x(x^2 + 1)
= 4x^3 + 4x
Concluzie:
Derivata funcției f(x) este:
f'(x) = 4x^3 + 4x