Răspuns:
Pentru a demonstra că AC = BD, putem folosi teorema lui Thales, care afirmă că într-un triunghi dreptunghic, segmentele care unesc mijlocul ipotenuzei cu vârfurile triunghiului sunt egale.
a) Deoarece AD || BC și O este mijlocul segmentului AB, rezultă că AO = OB și CO = OD.
Având în vedere că AD = BC, putem deduce că AO + OD = BO + OC, ceea ce înseamnă că AC = BD.
Pentru a demonstra că DAC = DBC, putem folosi proprietatea unghiurilor corespondente alternante, care afirmă că dacă două linii sunt tăiate de o a treia, iar unghiurile corespondente alternante sunt egale.
b) Deoarece AD || BC și OA este transversala, avem că unghiul DAC este egal cu unghiul DBC, deoarece sunt unghiuri corespondente alternante.
Pentru a demonstra că O este mijlocul segmentului AB, trebuie să arătăm că O este punctul de întâlnire al medianelor în triunghiul ABC. Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct numit centrul de greutate, care împarte fiecare mediană în două segmente care au raportul 2:1.
c) Fie M mijlocul segmentului CD. Dacă O este mijlocul segmentului AB, atunci MO = 1/2 * CD.
În concluzie, am demonstrat că:
a) AC = BD;
b) DAC = DBC;
c) O este mijlocul segmentului AB, iar O = AB CD.
