Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{\Delta ADE - echilateral}}[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \red{\measuredangle BDE = 120^{\circ}; \ \measuredangle DBE = 30^{\circ}; \ \measuredangle DEB = 30^{\circ} }}[/tex]
Ipoteză: ΔABC echilateral, D∈AB, E∈AC, DE║AB, D este mijlocul laturii AB
Concluzie: ΔADE este echilateral; ∡BDE=?, ∡BED=?, ∡DBE=?
Demonstrație: a) Din ipoteză avem DE║AB, D∈AB, E∈AC, de unde rezultă că AB și AC sunt secante ⇒ ∡ADE ≡∡ABC și ∡AED ≡ ∡ACB (corespondente congruente) (1)
ΔABC este echilateral ⇒ ∡BAC = ∡ABC = ∡ABC = 60° (2)
D∈AB, E∈AC ⇒ ∡BAC = ∡DAE = 60° (3)
Din (1). (2) și (3) ⇒ ∡DAE = ∡ADE = ∡AED = 60° ⇒ ΔADE este echilateral
b) ∡BDE = 180° - ∡ADE = 180° - 60°
⇒ ∡BDE = 120°
D este mijlocul AB ⇒ AD ≡ BD. Dar AD ≡ DE (ipoteză), prin urmare BD≡DE ⇒ ΔBDE este isoscel ⇒ ∡DBE ≡ ∡DEB
∡BDE + ∡DBE + ∡DEB = 180°
⇒ ∡DBE = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2
⇒ ∡DBE = 30°
⇒ ∡DEB = 30°
