Pentru a rezolva aceste inecuații, trebuie să analizăm fiecare una în parte:
a) |x| < 4:
- Această inecuație se traduce prin faptul că distanța dintre x și 0 trebuie să fie mai mică decât 4. Deci, intervalul soluției este -4 < x < 4.
b) |x| ≤ 3:
- Aici, distanța dintre x și 0 trebuie să fie mai mică sau egală cu 3. Deci, intervalul soluției este -3 ≤ x ≤ 3.
c) |2x| < 8:
- Această inecuație se rezolvă divizând ambele părți la 2. Obținem |x| < 4, care are soluția -4 < x < 4.
d) |x| ≥ 2:
- Distanța dintre x și 0 trebuie să fie mai mare sau egală cu 2. Deci, intervalul soluției este x ≤ -2 sau x ≥ 2.
e) |x| > 5:
- Distanța dintre x și 0 trebuie să fie mai mare decât 5. Deci, intervalul soluției este x < -5 sau x > 5.
f) |x| > -5:
- Această inecuație este adevărată pentru orice valoare a lui x, deoarece distanța dintre x și 0 va fi întotdeauna mai mare decât -5.
g) |x + 1| < 6:
- Această inecuație ne arată că distanța dintre x și -1 trebuie să fie mai mică decât 6. Deci, intervalul soluției este -7 < x < 5.
h) |x - 11| ≤ 4:
- Aici, distanța dintre x și 11 trebuie să fie mai mică sau egală cu 4. Deci, intervalul soluției este 7 ≤ x ≤ 15.
i) 11 - x + 3x < 6:
- Simplificând expresia, obținem 11 + 2x < 6, iar apoi 2x < -5. Împărțind la 2, avem x < -5/2, deci intervalul soluției este x < -2.5.
j) |3x| < 4:
- Aici, distanța dintre 3x și 0 trebuie să fie mai mică decât 4. Deci, intervalul soluției este -4/3 < x < 4/3.
k) |-x + 1| < 4:
- Distanța dintre -x + 1 și 0 trebuie să fie mai mică decât 4. Deci, intervalul soluției este -3 < x < 5.
l) |x| < -4:
- Această inecuație nu are soluții reale, deoarece valoarea absolută a lui x nu poate fi mai mică decât un număr negativ.
m) 12x - 1 < 7:
- Simplificând, obținem 12x < 8 și, împărțind la 12, avem x < 8/12, adică x < 2/3.
n) 11 + 3x < 6:
- Scăzând 11 din ambele părți, obținem 3x < -5 și împărțind la 3, avem x < -5/3.
o) 12 + 5x ≤ 14:
- Scăzând 12 din ambele părți, obținem 5x ≤ 2 și, împărțind la 5, avem x ≤ 2/5.
În final, numerele întregi care satisfac aceste relații sunt cele din intervalele respective:
- a) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
- b) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
- c) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
- d) {-∞, ..., -3, 2, 3, ..., +∞}
- e) {-∞, ..., -6, 6, ..., +∞}
- f) {-∞, ..., +∞}
- g) {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
- h) {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
- i) {-∞, ..., -3}
- j) {-4/3, -1, 0, 1, 4/3}
- k) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
- l) {}
- m) {-∞, ..., -1}
- n) {-∞, ..., -2}
- o) {-∞, ..., 2/5}
