👤
a fost răspuns

Se consideră multimea A={1/3; 1/15; 1/35;...1/(2n-1)(2n+1)} cu n natural nenul. Demonstrati ca, oricare ar fi B o submultime nevida a lui A, suma elementelor multimii B nu poate fi numar natural.

Răspuns :

ALBATRANID

Răspuns

asa este!!..::))

Explicație pas cu pas:

orice element este nenul si pozitiv, deci orice suma ≠0∈N

suma minima  1/(2n-1) (2n+1)=1/(4n²-1)<1/(4-1)=1/3

suma maxim

1/3+1/15+...+1/(2n-1)(2n+1)=

1/1*3+1/385+1/5*7+...1/(2n-1) (2n+1)=

(1/2)*(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1) -1/(2n-1)=

=(1/2)* (1-1/(2n+1))=n/2n+1<n/2n=1/2<1

deci suma ∈[1/3;1/2)

[1/3;1/2)∩N*=∅



TARGOVISTE44ID

[tex]\it \dfrac{1}{2n-1}- \dfrac{1}{2n+1}= \dfrac{2n+1-2n+1}{(2n+1)(2n-1)} = \dfrac{2}{(2n+1)(2n-1)} \Rightarrow \\ \\ \\\Rightarrow\dfrac{1}{(2n+1)(2n-1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}- \dfrac{1}{2n+1}\right)[/tex]

Folosind formula, suma elementelor din mulțimea A se poate scrie:


[tex]\it \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ ...\ +\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2n+1-1}{2n+1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac{n}{2n+1}<1,\ \forall n\in\mathbb{N}[/tex]

Prin urmare, oricare ar fi B o submulțime nevidă a lui A, suma

elementelor mulțimii B va fi cuprinsă în intervalul (0,  1), adică

nu poate fi un număr natural.


Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari