Răspuns
Explicație pas cu pas:
Se verifica proprietatiile grupului abelian .
Partea stabila :
x*y=xy-2x-2y+6=x(y-2)-2(y-2)+2=(x-2)(y-2)+2
Deoarece x,y > 2, e evident ca x-2>0 si y-2> 0 , adica (x-2)(y-2) >0 , de unde (x-2)(y-2)+2 > 2 .Prin urmare x*y∈(2,∞) , deci G este parte stabila.
Asociativitate :
x*(y*z)=(x*y)*z , ∀x,y,z ∈ G
x * [(y-2)(z-2)+2]= [(x-2)(y-2)+2]*z
(x-2)[(y-2)(z-2)+2-2]+2= [(x-2)(y-2)+2-2](z-2)+2
(x-2)(y-2)(z-2)+2 = (x-2)(y-2)(z-2)+2 , relatie adevarata
Element neutru:
x * e = e* x= x , ∀x∈G
x * e= x
(x-2)(e-2)+2=x
(x-2)(e-2)-(x-2)=0
(x-2)(e-2-1)=0
(X-2)(e-3)=0
e-3 = 0 ⇒ e=3
Elemente simetrizabile:
x * x' = x' * x= e , ∀x,x' ∈ G
x * x'=3
(x-2)(x'-2)+2=3
(x-2)(x'-2)=1
x'-2=1/(x-2)
x' = 1/(x-2) + 2
Bazandu-ne pe faptul ca x> 2 , atunci si x' > 2,deci toate elementele sunt simetrizabile.
Comutativitate:
x*y=y*x , ∀ x,y∈G
(x-2)(y-2)+2=(y-2)(x-2)+2
(x-2)(y-2)=(y-2)(x-2) , adevarat
Prin urmare (G, *) este grup abelian.
