g(x) = -x²+4x
g(x) = 0 => x = 0, x = 4
y = mx
-x²+4x-mx = 0 =>
=> -x(x-4+m) = 0 => x = 4-m
Subgraficul lui g(x) are bratele in jos, trec prin 0 si 4, si varful in sus, deasupra axei Ox.
y = mx trece oblic prin subgrafic.
Ea il intersectează prin punctul x = 4-m
Aria subgraficului de deasupra liniei mx trebuie să fie egala cu aria subgraficului de desuptul liniei mx
=> ∫₀ ^(4-m)[ (-x²+4x) - mx] dx =
= ∫₀ ^(4-m) (mx) dx + ∫_(4-m)^4(-x²+4x) dx
=> (-x³/3+2x²-mx²/2)|₀ ^(4-m) =
= (mx²/2)|_(0)^(4-m)+(-x³/3+2x²)_(4-m)^4
=> -(4-m)³/3+2(4-m)²-m(4-m)²/2 =
= m(4-m)²/2 - 64/3 + 32 + (4-m)³/3-2(4-m)²
=> -2(4-m)³/3+4(4-m)²-m(4-m)² = 32-64/3
=> (4-m)²((-8+2m)/3+4-m) = 32/3
=> (4-m)²(-8+2m+12-3m) = 32
=> (4-m)²(4-m) = 32
=> (4-m)³ = 32
[tex] 4-m = 2\sqrt[3]{4} \Rightarrow \boxed{m = 4-2\sqrt[3]{4}}[/tex]
