Răspuns:
a. m∈{0, 3}
b. m∈{1, 2}
c. m∈{(3-√13)/4, (3+√13)/4}
Explicație pas cu pas:
f(x)=x²-2mx+3m.
a. Parabola asociată funcţiei f este tangentă axei Ox, dacă Δ=0.
Δ=b²-4ac=(-2m)²-4·1·3m=4m²-12m.
Δ=0, deci 4m²-12m=0, deci 4m(m-3)=0, de unde m=0 sau m=3.
Răspuns: m∈{0, 3}.
b. Funcţia f ia valoare mnimă în vârful parabolei în punctul cu abscisa x0=-b/(2a)=-(-2m)/(2·1)=m.
f(m)=2
f(m)=m²-2·m·m+3m=m²-2m²+3m=-m²+3m
deci -m²+3m=2, sau -m²+3m-2=0 |·(-1) ⇒m²-3m+2=0, de unde m=1 sau m=2. Deci m∈{1, 2}
c. Dacă x1=sinα şi x2=cosα, dar (sinα)²+(cosα)²=1, atunci obţinem:
[tex]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 , dar\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}, dupa Viete avem \\\left \{ {{x_{1}+x_{2}=2m} \atop {x_{1}x_{2}=3m}} \right. Deci\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(2m)^{2}-2*3m=4m^{2}-6m, deci\\4m^{2}-6m=1, sau 4m^{2}-6m-1=0\\delta=36+16=52=4*13, deci \sqrt{delta}=\sqrt{4*13}=2\sqrt{13}, atunci\\m_{1}=\frac{6-2\sqrt{13}}{2*4}=\frac{2(3-\sqrt{13}}{2*4}=\frac{3-\sqrt{13}}{4}\\m_{2}=\frac{3+\sqrt{13}}{4}[/tex]
deci m∈{(3-√13)/4, (3+√13)/4}
