Explicație pas cu pas:
Grupam termenii sumei in perechi de cate 4 pentru a observa ca:
1+i+i²+i³=1+i-1+i²*i=1+i-1+(-1)*i=1+i-1-i=0
i⁴+i⁵+i⁶+i⁷=(i²)²+(i²)²*i+(i²)²*i²+(i²)³*i=(-1)²+(-1)²*i+(-1)²*(-1)+(-1)³*i=1+i-1-i=0
Si periodicitatea sumelor de catre patru continua, doar ca in functie de n avem 4 cazuri pentru a determina suma ultimilor termeni din suma:
Caz 1:
Cand n=4k, atunci iⁿ=1.
Avem in suma k perechi de 4 termeni la care adaugam si ultimul termen (cum puterile incep de 0, atunci de la 0 la 4k sunt 4k+1 termeni).
Determinam iⁿ⁻¹: iⁿ⁻¹=iⁿ/i=1/i=i/i²=i/-1=-i.
Determinam iⁿ⁻²: iⁿ⁻²=iⁿ⁻¹/i=-i/i=-1.
Determinam iⁿ⁻³: iⁿ⁻³=iⁿ⁻²/i=-1/i=-i/i²=-i/-1=i.
Determinam iⁿ⁻4: iⁿ⁻4=iⁿ⁻3/i=i/i=1
Deci, am aratat ca suma termenilor din ultima pereche de 4 termeni formata este 0, la care adaugam si in=i4k=1
Deci, S=k*0+1=1.
Exemplu: Daca k=1, atunci n=4.
S=1+i+i²+i³+i⁴=(1+i+i²+i³)+i⁴=0+(i²)²=(-1)²=1
Caz 2:
Cand n=4k+1, atunci iⁿ=i.
Avem determinata suma de la cazul 1. Diferenta dintre suma de la cazul 1 si suma din cazul 2 este aparitia in suma si a termenului iⁿ=i^(4k+1)=i, si astfel 1 devine termenul iⁿ⁻¹=i^4k.
Deci, S=Suma de la caz 1+ i^(4k+1)=1+i.
Exemplu: Daca k=1, atunci n=5.
S=1+i+i²+i³+i⁴+i⁵=(1+i+i²+i³)+i⁴+i⁵=0+(i²)²+(i²)²*i+(i²)³=(-1)²+(-1)²*i=1+i.
Caz 3:
Cand n=4k+2, atunci iⁿ=-1.
Avem determinata suma de la cazul 2. Diferenta dintre suma de la cazul 2 si suma din cazul 3 este aparitia in suma si a termenului iⁿ=i^(4k+2)=-1, si astfel i devine termenul iⁿ⁻¹=i^(4k+1).
Deci, S=Suma de la caz 1+ i^4k+2=1+i-1=i.
Exemplu: Daca k=1, atunci n=6.
S=1+i+i²+i³+i⁴+i⁵+i⁶=(1+i+i²+i³)+i⁴+i⁵+i⁶=0+(i²)²+(i²)²*i+(i²)³=(-1)²+(-1)²*i+(-1)³=1+i-1=i
Caz 4:
Cand n=4k+3, atunci iⁿ=-i.
Avem determinata suma de la cazul 3. Diferenta dintre suma de la cazul 3 si suma din cazul 4 este aparitia in suma si a termenului iⁿ=i^(4k+3)=-i, si astfel -1 devine termenul iⁿ⁻¹=i^(4k+2).
Deci, S=Suma de la caz 1+ i^(4k+3)=i-i=0.
Exemplu: Daca k=1, atunci n=7.
S=1+i+i²+i³+i⁴+i⁵+i⁶+i⁷=(1+i+i²+i³)+(i⁴+i⁵+i⁶+i⁷)=0+0=0 (din ce am observat la inceput).
