Răspuns:
Fiidncă [tex]5[/tex] nu este un patrat perfect, inelul pătratic [tex]\mathbb{Q}\left[\sqrt{5}\right][/tex] este un corp. În particular [tex](G,\cdot)[/tex] este un grup abelian.
Explicație pas cu pas:
Am folosit următoare toeremă:
Fie [tex]K[/tex] un corp și fie [tex]d\in K[/tex]. Sunt echivalente:
(1) [tex]K\left[\sqrt{d}\right][/tex] este un corp;
(2) Nu există [tex]c\in K[/tex] pentru care [tex]c^2=d.[/tex]
Demonstrație:
(1) implica (2)
Să presupunem, prin absurd că există acest [tex]c\in K[/tex]. Deci [tex]c+\sqrt{d},c-\sqrt{d}[/tex] sunt elemete nenule din [tex]K[/tex], dar
[tex](c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d})=c^2-d=0[/tex] ceia ce contrazice faptul de [tex]K[/tex] a fi un corp, pentru că nu admite divizori de zero.
(2) implica (1)
Dacă [tex]K\left[\sqrt{d}\right][/tex] nu ar fi un corp, vom avea două cazuri:
1º: are un element nenul care nu este inversabil;
2º: are cel puțin un divizor de zero.
Vom considera doar primul caz. Al doi-lea este analog.
Dacă [tex]K\left[\sqrt{d}\right][/tex] admite un element nenul care nu este inversabil, să zicem [tex]a+b\sqrt{d}[/tex] cu [tex]a,b\in K[/tex] Norma ei, definită prin:
[tex]N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2[/tex] nu este inversabilă. Dar norma ei este un element din [tex]K[/tex], ceia ce implică că doar putem avea:
[tex]a^2-db^2=0[/tex] adică [tex]a^2=db^2[/tex]
De aici înțelegem că [tex]a,b[/tex] nu pot fi nule.
Continuând: [tex]d=a^2b^{-2}=(b^{-1}a)^2[/tex]
Absurd, pentru că [tex]b^{-1}a\in K[/tex] contrariază ipoteza noastră înițială.
