Răspuns:
16.
N=5(n+1)+6ⁿ⁺¹+1001ⁿ⁺³+5
u(N)=u(5(n+1)+6ⁿ⁺¹+1001ⁿ⁺³+5)
u(5(n+1))= 5, daca n=2k (nr. par)
0, daca n=2k+1 (nr. impar)
u(6ⁿ⁺¹)=6 (ultima cifra a oricarei puteri a lui 6 este 6)
u(1001ⁿ⁺³) =1 (ultima cifra a oricarei puteri a lui 1 - sau a unui numar care are 1 ca ultima cifra - este 1)
I. daca n=2k
u(N)=u(5+6+1+5)=7
II. daca n=2k+1
u(N)=u(0+6+1+5)=2
Nici un patrat perfect nu are ca ultima cifra pe 2 sau 7, deci N ≠p.p.
19.
abc=3*cba+a+b+c ⇒ a≥3
u(abc)=u(3*cba+a+b+c)
c=u(3a+a+b+c) ⇒c=u(4a+b+c) ⇒ u(4a+b)=0
pt. a=3 ⇒ b=8
38c=3*c83 +3+8+c
380+c=300c+3*83+11+c
300c=120 ⇒ c=0,4, c∉N
pt. a=4 ⇒ b=4
44c=3*c44 +4+4+c
440+c=300c+3*44+8+c
300c=300 ⇒ c=1
pt. a=5 ⇒ b=0
50c=3*c05 +5+0+c
500+c=300c+3*5+5+c
300c=480 ⇒ c=1,6, c∉N
pt. a=6 ⇒ b=6
66c=3*c66 +6+6+c
660+c=300c+3*66+12+c
300c=450 ⇒ c=1,5, c∉N
pt. a=7 ⇒ b=2
72c=3*c27 +7+2+c
720+c=300c+3*72+9+c
300c=630 ⇒ c=2,1, c∉N
pt. a=8 ⇒ b=8
88c=3*c88 +8+8+c
880+c=300c+3*88+16+c
300c=600 ⇒ c=2
pt. a=9 ⇒ b=4
94c=3*c49 +9+4+c
940+c=300c+3*49+13+c
300c=780 ⇒ c=2,6, c∉N
abc∈{441, 772}
La 20 nu se vad toate datele problemei.
Explicație pas cu pas:
