Răspuns:
Explicație pas cu pas:
BN mediana, deci AN=NC. CM mediana, deci AM=MB.
a) G este centru de greutate, deci GN=(1/2)·BG. Deoarece AC=BG, atunci GN=(1/2)·AC. Avem in ΔAGC, segmentul GN este mediana si egal cu jumatatea lui AC, atunci ΔAGC este dreptunghic in G, deci m(∡AGC)=90°.
b) Aria(BPGM)=???
Aria(BPGM)=Aria(ΔBMG)+Aria(ΔBPG).
Deoarece AM=MB, atunci Aria(ΔAMG)=Aria(ΔBMG), doarece au laturi egale si inaltimile pe aceste laturi duse din G coincid.
In a) am vazut ca AP⊥CM, deci si m(∡AGM)=90°. Atunci Aria(ΔAMG)=(1/2)·AG·GM. E dat ca CM=24cm, deci GM=(1/3)·CM=(1/3)·24=8cm.
E dat ca AP=18cm, deci AG=(2/3)·AP=(2/3)·18=12cm.
Atunci Aria(ΔAMG)=(1/2)·AG·GM=(1/2)·12·8=48cm²=Aria(ΔBMG).
La fel, daca CP=BP, atunci Aria(ΔBPG)=Aria(ΔCPG).
ΔCPG este dreptunghic in G, CG=CM-GM=24-8=16cm
GP=AP-AG=18-12=6cm.
Atunci Aria(ΔCPG)=(1/2)·CG·GP=(1/2)·16·6=48cm²= Aria(ΔBPG).
Si deci Aria(BPGM)=Aria(ΔBMG)+Aria(ΔBPG)=48+48=96cm².
c) d(N,CM)=??
Distanta de la punct la o dreapta este segmentul perpendicularei dus de la punct la dreapta. Trasam ND⊥CM, D∈CM. Deoarece AG⊥CG, atunci ND║AG. Deoarece N este mijlocul segmentului AC, atunci, dupa T.Thales, ⇒si D este mijlocul segmentului CG, deci ND este linie mijlocie in ΔACG.
Atunci ND=(1/2)·AG=(1/2)·12=6cm=d(N,CM).
