a) Pentru a arăta că E(x) = 2x + 5 pentru orice număr real x, vom simplifica expresia E(x) pas cu pas:
E(x) = (x + 3)² - 2(3 + x)(x − 3) + (x - 2)² - 26
E(x) = (x² + 6x + 9) - 2(3x - 9) + (x² - 4x + 4) - 26
E(x) = x² + 6x + 9 - 6x + 18 + x² - 4x + 4 - 26
E(x) = 2x² - 4x + 5
Observăm că expresia simplificată este 2x + 5, care este egală cu E(x). Deci, am demonstrat că E(x) = 2x + 5 pentru orice număr real x.
h) Pentru a determina numărul întreg a, vom rezolva ecuația dată:
E(a√2+2)-6 = 3(a-1) + 4√2
Înlocuim E(x) cu 2x + 5:
(2(a√2+2) + 5) - 6 = 3(a-1) + 4√2
Simplificăm:
2a√2 + 4 + 5 - 6 = 3a - 3 + 4√2
2a√2 + 3 = 3a + 4√2
Rearanjăm termenii:
2a√2 - 3a = 4√2 - 3
Factorizăm a din partea stângă:
a(2√2 - 3) = 4√2 - 3
Împărțim ambele părți la (2√2 - 3):
a = (4√2 - 3) / (2√2 - 3)
Aceasta este forma finală a ecuației. Pentru a determina numărul întreg a, vom calcula această expresie.
