Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{ \dfrac{16\sqrt{3} }{3} \ cm^2 }}; \ (b) \boldsymbol{ \red{ 4\bigg(2 + \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\bigg) \ cm }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
ΔABC isoscel, AB = AC, ∡BAC = 120°, BC = 8 cm
a) ∡B ≡ ∡C ⇒ ∡B = ∡C = (180° - ∡A) : 2 = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 ⇒ ∡B = 30°
Ducem AD⊥BC, D∈BC ⇒ AD este înălțime și mediană ⇒ BD ≡ CD ⇒ BD = CD = BC : 2 = 8 : 2 ⇒ BD = 4 cm
În ΔADB ⇒ AD este cateta opusă unghiului de 30° ⇒ AB = 2 · AD (RT30°)
AD⊥BC ⇒ ∡ADB = 90° ⇒ aplicăm teorema lui Pitagora:
AB² = BD² + AD² ⇒ (2AD)² = 4² + AD² ⇒ 3AD² = 16 ⇒ AD² = 16 : 3
[tex]\implies AD = \dfrac{4\sqrt{3} }{3} \ cm[/tex]
Aria triunghiului ABC:
[tex]\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \dfrac{AD \cdot BC}{2} = \dfrac{\dfrac{4\sqrt{3} }{3} \cdot 8}{2} = \boldsymbol { \dfrac{16\sqrt{3} }{3} \ cm^2}\\[/tex]
b) 4 · PC = BC ⇒ 4 · PC = 8 ⇒ PC = 8 : 4 ⇒ PC = 2 cm
BP = BC - PC = 8 - 2 ⇒ BP = 6 cm
[tex]AB = 2 \cdot AD = 2 \cdot \dfrac{4\sqrt{3} }{3} = \dfrac{8\sqrt{3} }{3} \ cm\\[/tex]
Din: AD⊥BC și EP⊥BC ⇒ AD║EP ⇒ ΔABD ~ ΔEBP (T.f.a.)
[tex]\dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AD}{PE} = \dfrac{BD}{BP} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{8\sqrt{3} }{3}}{BE} = \dfrac{\dfrac{4\sqrt{3} }{3}}{PE} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol {BE = 4\sqrt{3} \ cm}, \ \Rightarrow \boldsymbol {PE = 2\sqrt{3} \ cm}[/tex]
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔCPE:
[tex]CE = \sqrt{PC^2 + PE^2} = \sqrt{2^2 + \bigg(\dfrac{2\sqrt{3} }{3}\bigg)^2} = \sqrt{4 + \dfrac{12}{9}} = \sqrt{\dfrac{48}{9}}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf CE = \dfrac{4\sqrt{3} }{3} \ cm[/tex]
Perimetrul ΔBCE:
[tex]\mathcal{P}_{\Delta BEC} = BC + BE + CE = 8 + 4\sqrt{3} + \dfrac{4\sqrt{3} }{3} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf \mathcal{P}_{\Delta BEC} = 4\bigg(2 + \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\bigg) \ cm[/tex]
✍ Reținem:
Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat.
