a) Pentru a determina numărul real a, folosim condiția dată f(1) = 0. Înlocuim X cu 1 în polinomul f și obținem:
f(1) = 1^3 + 2*1^2 + a*1 + 1 = 1 + 2 + a + 1 = 4 + a
Conform condiției f(1) = 0, avem:
4 + a = 0
a = -4
Deci, numărul real a este -4.
b) Pentru a = 2, polinomul f devine f = X^3 + 2X^2 + 2X + 1.
Pentru a calcula câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X^2 + X + 1, efectuăm împărțirea polinomului f la X^2 + X + 1.
( X^3 + 2X^2 + 2X + 1 ) : ( X^2 + X + 1 )
Câtul este X + 1 și restul este -X + 2.
c) Pentru a găsi numerele reale a pentru care rădăcinile polinomului f au modulele egale, putem folosi teorema lui Vieta.
Dacă rădăcinile polinomului f sunt α, β, și γ, atunci avem:
α + β + γ = -2
αβ + α f + βγ = a
αβγ = -1
Dacă rădăcinile au module egale, atunci α = β = γ = r, unde r este un număr real.
Înlocuind α = β = γ = r în ecuațiile de mai sus, obținem:
3r = -2
a = 2r^2
r^3 = -1
Soluția acestui sistem de ecuații ne va da numerele reale a pentru care rădăcinile polinomului f au modulele egale.
