Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{3536\pi \ cm^2; \ 14976 \ cm^3}} \\[/tex]
[tex](b) \boldsymbol{ \red{2000 \ cm^2; \ 16000 \ cm^3}}[/tex]
[tex](c) \boldsymbol{ \red{288^{\circ}}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Trunchi de con circular drept, r = 16 cm, R = 40 cm, G = 30 cm
a) Aria totală a trunchiului de con este egală cu suma ariei laterale și a ariilor celor două baze:
[tex]\boldsymbol{\red{\mathcal{A}_{t} = \mathcal{A}_{\ell} + \mathcal{A}_{b} + \mathcal{A}_{B} = \pi G (R + r) + \pi (R^{2} + r^{2}) }} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow A}_{t} = \pi \cdot 30 (40 + 16) + \pi (40^{2} + 16^{2}) = 1680 \pi + 1856 \pi = \bf 3536\pi \ cm^2\\[/tex]
Pentru a calcula volumul, trebuie să determinăm înălțimea h a trunchiului de con. Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul format de generatoare G, înălțimea h și diferența razelor (R - r):
[tex]\boldsymbol{h^{2} + (R - r)^{2} = G^{2} } \Rightarrow h = \sqrt{30^2 - (40 - 16)^2} = \sqrt{324} = \bf 18 \ cm\\[/tex]
Acum putem calcula volumul:
[tex]\boldsymbol{\red{\mathcal{V}_{tr.con} = \dfrac{\pi h(R^{2} + r^{2} + rR)}{3} }} \Rightarrow \mathcal{V} = \dfrac{18\pi (40^{2} + 16^{2} + 16 \cdot 40)}{3} = \\[/tex]
[tex]= \dfrac{18\pi (1600+640+256)}{3} = \dfrac{18\pi \cdot 2496}{3} = \bf 14976\pi \ cm^3\\[/tex]
b) Pentru a determina aria laterală și volumul conului din care provine trunchiul, trebuie să aflăm dimensiunile conului întreg: înălțimea H și generatoarea G₁. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice formate de înălțimi cu razele bazelor (Tfa):
[tex]\dfrac{H - h}{H} = \dfrac{G_1 - G}{G_1} = \dfrac{r}{R} \Rightarrow \dfrac{H - 18}{H} = \dfrac{G_1 - 30}{G_1} = \dfrac{16}{40}\\[/tex]
[tex]\dfrac{H - 18}{H} = \dfrac{16}{40} \Rightarrow 40(H - 18) = 16H \Rightarrow \bf H = 30 \ cm\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{G_1 - 30}{G_1} = \dfrac{16}{40} \Rightarrow 40(G_1 - 30) = 16G_1 \Rightarrow \bf G_1 = 50 \ cm\\[/tex]
[tex]\boldsymbol{\red{\mathcal{A}_{\ell \ con} = \pi RG_1}} = \pi \cdot 40 \cdot 50 = \bf 2000 \ cm^2 \\[/tex]
[tex]\boldsymbol{\red{\mathcal{V}_{con} = \dfrac{\pi R^{2} H}{3} }} = \dfrac{\pi \cdot 40^{2} \cdot 30}{3} = \bf 16000 \ cm^3\\[/tex]
c) Când desfășurăm suprafața laterală a conului, aceasta devine un sector circular cu raza egală cu generatoarea conului (G₁ = 50 cm) și cu lungimea arcului egală cu circumferința bazei conului.
Măsura unghiului sectorului de cerc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale a conului este
[tex]\boldsymbol{\red{u^{\circ} = \dfrac{360^{\circ} \cdot R}{G_1}}} = \dfrac{360^{\circ} \cdot 40}{50} = \bf 288^{\circ}[/tex]
O temă similară https://brainly.ro/tema/10684566
