O functie este bijectiva daca este atat injectiva cat si surjectiva.
Prima data verificam injectivitatea.
O functie este injectiva daca este indeplinita relatia f(x1) = f(x2) implica x1 = x2, pentru orice x1, x2 din domeniu.
f(x1) = f(x2)
3^(x1) + 4 = 3^(x2) + 4
- se scade 4 din ambele parti
3^(x1) = 3^(x2)
- se aplica logaritm in baza 3
x1 = x2
Din moment ce f(x1) = f(x2) implica x1 = x2, functia este injectiva.
Sau, o alta metoda pentru dovedirea injectivitatii:
f(x) = 3^x + 4 este o compunere de 2 functii elementare: este o functie exponentiala insumata cu o constanta pozitiva. Functia exponentiala este strict crescatoare, prin urmare aceasta compunere, f(x) va fi si ea strict crescatoare.
Stim ca daca o functie este strict monotona (strict crescatoare sau descrescatoare) atunci este injectiva, deci f(x) este injectiva.
Apoi verificam surjectivitatea.
O functie este surjectiva daca pentru orice y in codomeniul (4, infinit), exista un x in domeniu astfel incat f(x) = y.
f(x) este egal cu 3^x + 4 iar 3^x este mereu pozitiv pentru orice x, fiind o functie exponentiala. 3^x este mai mare decat zero pentru orice x numar real, asadar 3^x + 4, adica f(x), este mai mare decat 4 pentru orice numar real.
f(x) > 4 implica ca imaginea functiei f(x) este (4, infinit) ceea ce corespunde cu codomeniul. Prin urmare, functia este surjectiva.
Asadar, cum f(x) este atat injectiva cat si surjectiva, functia este bijectiva.
q.e.d.
