Răspuns:
a) se elimină parantezele, se fac calculele și se ajunge la forma cerută:
E(x) = x² + 3x
b) E(n) se scrie ca produs, iar unul dintre factori este 2.
dacă n este par, E(2k) = 2k(2k+3), unde k ∈ N
dacă n este impar, E(2k+1) = 2(2k+1)(k+2)
Explicație pas cu pas:
a)
E(x) = x(3x+1) - (x-2)² - (x+1)² + 5
E(x) = 3x² + x - (x² - 4x + 4) - (x² + 2x + 1) + 5
E(x) = 3x² + x - x² + 4x - 4 - x² - 2x - 1 + 5
E(x) = x² + 3x - ceea ce trebuia demonstrat.
b)
Pentru a demonstra că un număr este par, trebuie să scriem acel număr ca produs, iar unul dintre factori este 2.
Folosim rezultatul de la punctul a: E(x) = x² + 3x
Dăm factor comun și obținem E(x) = x (x + 3)
Pentru x = n (număr natural) forma expresiei este E(n) = n(n+3)
Există două variante privind paritatea lui n:
1. dacă n este par (are forma 2k, k ∈ N), expresia devine:
E(2k) = 2k(2k+3) , care este număr par
2. dacă n este impar (are forma 2k+1), expresia devine
E(2k+1) = (2k+1)(2k+1+3)
E(2k+1) = (2k+1)(2k+4)
Dăm factor comun pe 2 în ultima paranteză:
E(2k+1) = 2(2k+1)(k+2) , care este număr par
